九章算术 提要

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九章算术九卷，不详作者名氏。九章算术是一部现在有传本的、最古老的中国数学书，它的编纂年代大约是在东汉初期。书中收集了二百四十六个应用问题的解法，分别隶属于方田、粟米、衰分、少广、商功、均输、盈不足、方程、句股九章。
　　春秋、战国时期社会生产力的逐渐提高，促进了数学知识和计算技能的发展。当时各国的统治阶级要按亩收税，必须有测量土地、计算面积的方法；要储备粮食，必须有计算仓库容积的方法；要修建灌溉渠道、治河堤防和其他土木工事，必须能计算工程人功；要修订一个适合农业生产的历法，必须能运用有关的天文数据。那时的百姓掌握了相当丰富的、由日常生活中产生的数学知识和计算技能。虽然没有一本先秦的数学书流传到后世，但无可怀疑的是九章算术方田、粟米、衰分、少广、商功等章中的题解方法，绝大部分是产生于秦以前的。汉书艺文志术数类着录有许商算术二十六卷，杜忠算术十六卷，这两部算术虽早已失传，应该是东汉初编纂的九章算术的前身，它们的主要教材应当被保存于九章算术各章之内。
　　 周礼大司徒篇说：「保氏掌谏王恶而养国子以道。乃教之六艺：一曰五礼，二曰六乐，三曰五射，四曰五驭，五曰六书，六曰九数。」这是说，主持贵族子弟教育的保氏以礼、乐、射、驭、书、数为「小学」的六门课程，每一门课程又各有若干细目，例如「数」学中有九个细目。但在周礼里没有把「九数」列举出来，我们就无法考证它的内容。汉武帝时这部周礼开始受到经学家的注意。到东汉时期，郑众、马融等都为「九数」作了注解。东汉末郑玄周礼注引郑众说：「九数：方田、粟米、差分、少广、商功、均输、方程、赢不足、旁要，今有重差、句股。」事实上，郑众所说「九数」中的「均输」已是汉武帝太初元年以后的赋税制度，决不是周礼九数原有的一个细目。「方田、粟米、差分、少广、商功、均输、方程、赢不足、旁要」大概是西汉末传统算术的主要纲目，「今有重差、句股」说明数学有了新的发展。传本九章算术将句股代替旁要，它的编纂年代当在郑众注周礼「九数」（约公元五０年）之后。后汉书马援传说，马续「善九章算术」。马续是马援的侄孙，马融（公元七九――一六六年）之兄，他的生年约在公元七０年前后。马续研究九章算术大概在公元九０年前后。根据上述史料，我们认为九章算术的编定年代是在公元第一世纪的后半个世纪，而各章的主要内容在第一世纪初期已具备了一定的成就。 　　九章算术不但对后世的数学着作奠定了优良的传统，对世界数学的发展也有着重要的贡献。现在小学算术课程中的分数四则，各种比例，面积和体积，以及各类应用问题的解法，在九章算术方田、粟米、衰分、商功、均输、盈不足等章里已有了相当详备的内容。现在中学课程中的代数部分，如开平方、开立方、正负数、联立一次方程组、二次方程等项目，在少广、方程、句股章里亦已有了卓越的成就。 　　传本九章算术有刘徽注和唐李淳风等的注释。刘徽是我国古代杰出的数学家。他为九章算术作注解，又自撰重差一卷附于九章算术九卷之后，故隋书经籍志著录「九章算术十卷，刘徽撰」。经籍志又录有「九章重差图一卷，刘徽撰」，当是十卷本的附图，可惜早已亡佚。九章算术方田章圆田术注和商功章圆困术注中都论及「晋武库中有汉时王莽所作铜斛」。隋书律历志论历代量制引商功章注，说「魏陈留王景元四年（公元二六三年）刘徽注九章」。我们根据这些资料，认为刘徽是魏、晋时人。他的生平履历无可详考。 　　刘徽九章算术注自序说：「又所析理以辞，解体用图。庶亦约而能周，通而不黩，览之者思过半矣。」这是说，问题解法的理论分析，要用明确的语言表达出来；空间形体的具体分解，要用几何图形显示出来。这样u能做到又简又明，启发读者的思考。他在注中一方面整理九章算术各个问题的解法，理论上属于一类的使它们归于一类，提纲挈领地阐明所以能解的道理。在另一方面，对于原来所有不够准确的近似计算，他提出了更精确的计算方法。例如九章算术原术取用三为圆周率，他通过了圆内接正三百八十四边形和正三千零七十二边形面积的严密计算，得到圆周率的近似值，五十分之一百五十七，或一千二百五十分之三千九百二十七。又如开平方或开立方不尽时（平方根或立方根为无理数），原有以分数表示奇零部分的方法不甚准确，他主张继续开方，得出以十进分数表示平方根或立方根的近似值。此外，他创立许多新的解题方法，例如盈不足章第十九题的等差级数求和法，方程章第七题的互乘相消法，第九题的消去常数项法，句股章第十六题的内切圆径公式等等，都比原术简便。 　　唐李淳风等对刘徽注本九章算术作了一些解释，原有刘注意义十分明确的不再补注，盈不足、方程二章就没有他们的注释。九章算术所有与圆面积有关的问题，都取圆周率三计算，刘徽注以为应取五十分之一百五十七，李淳风等补注认为可以用七分之二十二计算，这是对的。但七分之二十二是祖冲之的所谓「约率」，而李淳风等引用此率，称它为「密率」。后世人误认七分之二十二为「密率」的很多，这是李注的谬种流传。少广章开立圆术，李淳风等注释引祖之说，介绍球体积公式的理论基础。缀术书失传后，祖冲之父子对于球体积的研究，幸有李淳风等的征引而得流传到现在。 　　刘、李注本九章算术到北宋仁宗时有贾宪所撰的细草，原书早已失传，但永乐大典中保存杨辉所引的贾宪开方法是非常宝贵的数学史料。南宋末有杨辉详解九章算法十二卷（一二六一），现在仅存商功、均输、盈不足、方程、句股五章和「九章算法纂类」。杨辉钞录的九章算术本文和刘、李二家注文有很多脱误，但也有可据以对校永乐大典本的文字。清嘉庆初年李潢撰九章算术细草图说九卷，有校勘、有补图、有详草、有说明，发挥九章算术刘徽注的原意，对于读者是大有裨益的。
　
    版本与校勘
　　刘、李注本九章算术在宋代有北宋元丰七年（公元一０八四年）秘书省刻本和南宋嘉定年鲍戎刻本。明代永乐大典依据九章名义分类抄录，到清朝初年并未散佚。明代留心古典数学的人很少，九章算术非但没有新的刻本，连宋代遗留下来的旧书也渐次散佚。清初南京黄虞稷家中有南宋刻本九章算术，仅存方田、粟米、衰分、少广、商功五章。一六七八年梅文鼎到南京应乡试时曾到黄家翻阅过。这个残本九章算术于干隆中为曲阜孔继涵所得，嘉庆中为阳城张敦仁所得，今存上海图书馆。常熟毛于一六八四年向黄家借钞得一影宋钞本。这个影宋的残本九章算术于干隆中转入清宫，作为天禄琳琅阁藏书，今存故宫博物院。一九三二年故宫博物院把它影印为天禄琳琅丛书的一种。 　　干隆三十八年（一七七三）开四库全书馆，婺源戴震充四库全书纂修及分校官。次年，戴震从永乐大典中抄集九章算术九卷，并且做了一番校勘工作。四库全书本和武英殿聚珍版本九章算术都有戴震的校订文字和补图。商务印书馆刊行的丛书集成本是依据武英殿本排印的。
　　戴震的儿女亲家孔继涵刻微波榭本算经十书，其中九章算术九卷采用戴震的校定本。戴震校正的文字，颠扑不破的果然不少，但也有些地方，他师心自用，把原本不错的文字改掉，后来的读者很容易被他蒙蔽而引起误会。所以作为一个善本书看，微波榭本的参考价值是远不如武英殿本的。微波榭本九章算术卷九的最后一页上题称「大清干隆三十八年癸巳秋阙里孔氏依汲古阁影宋刻本重雕」，书的底本和刻书年代都有问题，显然是不足征信的。此后依据微波榭本翻刻的九章算术有常熟屈曾发的重刻本、南昌梅启照的算经十书本和商务印书馆的万有文库本、四部丛刊本等等。 　　嘉庆年钟祥李潢撰九章算术细草图说，用微波榭本作底本，校正了很多错误文字。戴震所谓「舛误不可通」而无法校订的文句，经过李潢校订后，一般都能文从字顺容易理解了。但碰到戴震误改原文的地方，他就没有能够纠正过来。方程章最后一题的刘徽注中，叙述了两个「新术」的演算程序，文字冗长，数字繁琐，旧刻本的讹文夺字很多，不容易整理。李潢的友人戴敦元和李锐各代为校正一术。李潢就照录他们的校定稿作为细草图说的一部分。又，均输章第八题答数、术文和李淳风等的注文俱有讹字，李潢未能订正，沈钦裴于李潢死后算校编辑付刻时代为校正。 　　为了要恢复唐代立于学官的刘、李注本九章算术，我根据天禄琳琅丛书本和宜稼堂本杨辉详解九章算法所引，重加校订，写出了校勘记四百六十余条。戴震、李潢二家所校定的文字认为是正确的，于校勘记中声明他们的开辟草莱的功绩。也有各本俱误而各家漏校或误校的文字，只能凭个人意见，擅自校改，但在校勘记中保留各本原有的异文衍字。商功章阳马术和句股章容圆术的刘徽注中各有意义难于理解而不能句读的文字，无法校订，只能付之缺疑。

    刘徽九章算术注原序
　　昔在包牺氏始画八卦，以通神明之德，以类万物之情，作九九之术以合六爻之变。暨于黄帝神而化之，引而伸之，于是建历纪，协律吕，用稽道原，然后两仪四象精微之气可得而效焉。记称隶首作数，其详未之闻也。按周公制礼而有九数，九数之流，则九章是矣。
　　往者暴秦焚书，经术散坏。自时厥后，汉北平侯张苍、大司农中丞耿寿昌皆以善算命世。苍等因旧文之遗残，各称删补。故校其目则与古或异，而所论者多近语也。
　　徽幼习九章，长再详览。观阴阳之割裂，总算术之根源，探赜之暇，遂悟其意。是以敢竭顽鲁，采其所见，为之作注。事类相推，各有攸归，故枝条虽分而同本干者，知发其一端而已。又所析理以辞，解体用图，庶亦约而能周，通而不黩，览之者思过半矣。且算在六艺，古者以宾兴贤能，教习国子。虽曰九数，其能穷纤入微，探测无方。至于以法相传，亦犹规矩度量可得而共，非特难为也。当今好之者寡，故世虽多通才达学，而未必能综于此耳。
　　周官大司徒职，夏至日中立八尺之表，其景尺有五寸，谓之地中。说云，南戴日下万五千里。夫云尔者，以术推之。按九章立四表望远及因木望山之术，皆端旁互见，无有超邈若斯之类。然则苍等为术犹未足以博尽群数也。徽寻九数有重差之名，原其指趣乃所以施于此也。凡望极高、测绝深而兼知其远者必用重差，句股则必以重差为率，故曰重差也。立两表于洛阳之城，令高八尺。南北各尽平地，同日度其正中之景。以景差为法，表高乘表间为实，实如法而一，所得加表高，即日去地也。以南表之景乘表间为实，实如法而一，即为从南表至南戴日下也。以南戴日下及日去地为句、股，为之求弦，即日去人也。以径寸之c南望日，日满c空，则定c之长短以为股率，以c径为句率，日去人之数为大股，大股之句即日径也。虽天圆穹之象犹曰可度，又况泰山之高与江海之广哉。徽以为今之史籍且略举天地之物，考论厥数，载之于志，以阐世术之美。辄造重差，并为注解，以究古人之意，缀于句股之下。度高者重表，测深者累矩，孤离者三望，离而又旁求者四望。触类而长之，则虽幽遐诡伏，靡所不入。博物君子，详而览焉。